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Im Alter von sechs Jahren begann Eberhard Weber Cello zu spielen; später kam der Kontrabass hinzu, durch den er neben der klassischen Musik auch den Jazz und dessen spezifische Spielweisen kennenlernte.
Nach einer Fotografenlehre arbeitete er neben seiner Musikertätigkeit in verschiedenen Bereichen in Rundfunk und Film, bevor er sich ausschließlich der Musik widmete. 1968 heiratete Eberhard Weber die Malerin Maja Weber (die später für alle seine Alben die Umschlagbilder beisteuerte).
Ab 1962 spielte er mit dem Pianisten Wolfgang Dauner zahlreiche Alben ein. Daneben war er auch an anderen Produktionen beteiligt, etwa George Gruntz' Noon in Tunisia (1967). Mit der 1970 gegründeten Band Et Cetera (mit Wolfgang Dauner am Piano, Sigi Schwab an Gitarre, Sitar und Tarang, Fred Braceful, Schlagzeug und Gesang, Roland Wittich am Schlagzeug und Eberhard Weber am Bass) näherte er sich einerseits dem Stil des Bill Evans Trios mit Scott LaFaro und Paul Motian an, andererseits war sie aber der Beginn einer erfolgreichen Rockjazz-Formation. Die Zusammenarbeit mit Dauner riss nicht völlig ab, jedoch beschritten beide seit 1973 (das Jahr von Webers erfolgreichem Album The Colours of Chloë) getrennte Wege. Sie kamen nur noch gelegentlich für gemeinsame Projekte zusammen, insbesondere im United Jazz + Rock Ensemble.
Mit seinem Album The Colours of Chloë mit Rainer Brüninghaus erlangte Weber auch internationale Beachtung. An diesen Erfolg anknüpfend gründete er bald darauf die Band Colours mit Rainer Brüninghaus und Charlie Mariano sowie dem Schlagzeuger John Marshall. Zwischenzeitlich arbeitete Weber auch mit Pat Metheny, Gary Burton und Ralph Towner (Solstice, 1974) zusammen.
Colours löste sich 1981 auf. 1982 wurde Eberhard Weber ständiges Mitglied der Band des norwegischen Saxophonisten Jan Garbarek und arbeitete bis zu seinem Schlaganfall im April 2007 mit ihm zusammen. Anfang der 1980er begann auch seine Zusammenarbeit mit der britischen Sängerin und Komponistin Kate Bush. Auf vier ihrer Alben (u.a. The Dreaming) ist er bei einzelnen Stücken als Bassist zu hören.
Seit 1985 gab Weber immer wieder Solokonzerte, bei denen er sich elektronischer Klangvervielfältiger bediente, die sein Spiel aufnahmen und es - teilweise in veränderter Form - wiedergaben. Auf diese Weise konnte er sich live selbst begleiten.
2000 nahm er unter eigenem Namen das Album Endless Days auf, auf dem auch wieder Rainer Brüninghaus mitwirkte. Daneben ist er auf mehreren Alben des Gitarristen Andreas Georgiou zu hören.
Im April 2007 erlitt Weber kurz vor einem Konzert mit der Jan Garbarek Group in der Berliner Philharmonie einen Schlaganfall, von dem er sich nur langsam erholte. Infolgedessen war er halbseitig gelähmt und ist deshalb spielunfähig. Sein Album Résumé beruht daher auf Bearbeitungen von Soli, die er früher im Quartett von Jan Garbarek spielte und die mitgeschnitten worden waren.
Unter gleichem Titel - mit dem Zusatz "Eine deutsche Jazzgeschichte" - veröffentlichte Eberhard Weber im Januar 2015 seine Autobiografie.
In der Union Deutscher Jazzmusiker gehörte er zum künstlerischen Beirat (Wikipedia).