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Busch erhielt Violinunterricht und wechselte mit 20 Jahren an den Kontrabass. Nach dem Spiel mit Dixieland- und Swingbands absolvierte er ein Musikstudium in Bremen. Anschließend spielte er in der Band von Ed Kröger und Joe Viera sowie in der frühen europäischen Rockjazz-Band Association P.C. Nach einem Aufbaustudium am Berklee College of Music spielte er ab 1974 mit Wolfgang Engstfeld und Uli Beckerhoff in der Gruppe Jazztrack. 1975 erschien seine erste Platte unter eigenem Namen („Age of Miracles“ mit Charlie Mariano und Wolfgang Dauner; Förderpreis Musik der Stadt Bremen). 1979 gründete er mit dem niederländischen Schlagzeuger Pierre Courbois die Gruppe In 'n' Out.
Busch arbeitete auch mit der Manfred Schoof Big Band, der Gruppe Zupfgeigenhansel und kurzzeitig 1989 mit dem Gil Evans Orchestra. Mit seiner Gruppe BuschMusic (u.a. Tony Lakatos und Vic Juris) legte er unter dem Titel „The Berlin Songbook“ eine von der Kritik positiv gewürdigte CD mit der Musik deutscher Komponisten der zwanziger und dreißiger Jahre vor. Daneben trat er mit vielen bekannten Jazzgrößen auf (wie Gary Burton, Albert Mangelsdorff, Charlie Mariano, David Liebman, Sonny Stitt, Woody Shaw, Jeremy Steig, Ben Webster oder John Zorn)
1988 erhielt er einen Ruf als Professor für Kontrabass, Jazztheorie und Gehörbildung an die Hochschule der Künste Berlin (ins heutige Jazz-Institut Berlin). Busch legte mehrere Unterrichtswerke vor: eine „Kontrabaßschule“, eine dreiteilige „Gehörbildung“, eine „Musiklehre“ mit den harmonischen Grundlagen von Jazz und Pop (mehr als 25.000 verkaufte Exemplare) sowie seine Betrachtungen über „Improvisation im Jazz - ein dynamisches System“.
Busch war bis zu seiner Pensionierung neben der pädagogischen Tätigkeit mit seinem Sigi Busch Trio (mit Jerry Granelli und Peter Weniger) und im Duo mit Gitarrist Manfred Dierkes musikalisch aktiv. 2008 erschien seine CD Busch singt Busch. Nach seiner Emeritierung zog er zurück nach Bremen; er lebt heute (2014) in Worpswede. Weiterhin ist er als Komponist und Arrangeur für Streichorchester, als Autor und als Kontrabassist in verschiedenen Bands tätig. In seinem 2013 gegründeten Trio spielt er mit Bernhard Schüler und Christian Hiltawsky. [Wikipedia]