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Stockhausen besuchte das Kölner Musikgymnasium und studierte 1974 bis 1982 an der Hochschule für Musik Köln klassische Trompete bei Robert Platt und Jazztrompete bei Manfred Schoof.
Seit 1975 spielte er in Ensembles seines Vaters mit, der zunehmend auch Werke für ihn schrieb, u. a. die Solopartien in SIRIUS, DONNERSTAG aus LICHT mit dem Hauptwerk, einem quasi Trompetenkonzert Michaels Reise um die Erde, SAMSTAG aus LICHT mit Invasion und Pietà. Daneben arbeitete er mit mehreren Jazzgruppen zusammen, mit Key (1974–1979), der Rainer Brüninghaus Group (1980–1984) und Kairos (1985–1991).
1989 gründete er mit seinem Bruder Simon Stockhausen und Schlagzeuger Jo Thönes das Trio Aparis. Bei den Berliner Jazztagen 1995 trat er mit seinem Possible Worlds Orchestra auf, dem Nguyên Lê (elektrische Gitarre), Gergely Ittzés (Flöte), Rohan de Saram (Cello), Fabrizio Ottaviucci (Piano), Simon Stockhausen (Synthesizer), François Moutin (Bass), Ramesh Shotham (Perkussion) und Walter Quintus (Klangtechnik) angehörten. Weiter entwickelte er die Intuitive Musik im Projekt Sopra le Nuvole mit Fabrizio Ottaviucci (Piano), Tara Bouman (Klarinette), Stefano Scodanibbio (Bass), Mark Nauseef (Perkussion), dem Trio MAP mit Arild Andersen (Bass) und Patrice Héral (Perkussion), teilweise erweitert zu Kartā mit dem Gitarristen Terje Rypdal bzw. Kartā II, im Trio Lichtblick mit dem Pianisten Angelo Comisso und Christian Thomé (Schlagzeug), sowie im Duo mit Ferenc Snétberger (Gitarre), oder Enrique Díaz (Bass) zusammen. 2005 veröffentlichte er sein vorerst letztes gemeinsames Album mit Bruder Simon (nonDuality). 2008 gründete Stockhausen mit Tara Bouman (Klarinette), Dinesh Mishra (Bansuri Flöte), Rabih Lahoud (Gesang), Florian Weber (Piano) und Dimitrios Dorian Kokiousis (Schlagzeug) die Weltmusikgruppe Eternal Voyage.
Aktuell spielt er im Duo Moving Sounds mit Tara Bouman (Klarinette/Bassklarinette), im Duo Inside Out mit Florian Weber, mit Quadrivium - mit Angelo Comisso (Piano), Jörg Brinkmann (Cello) und Christian Thomé (Schlagzeug).
Zwischen 2000 und 2010 veranstaltete er in St. Maternus in Köln eine monatliche Konzertreihe mit intuitiver Musik. Der Lichtkünstler Rolf Zavelberg entwickelte zur Musik adäquate Lichtinstallationen. Daneben gab er Sommerkurse für Trompete und unterrichtete von 1996 bis 2001 an der Kölner Hochschule für Musik.
2007 schrieb er für den 31. Deutschen Evangelischen Kirchentag in Köln das Werk Abendglühen. Abendglühen ist ein Stück für sechs Bläserchöre und eine improvisierende Solotrompete. Das Konzert bildete den Abschluss des Eröffnungsabends Abend der Begegnung. Die Aufführung erlebten am Rheinufer mehr als 150.000 Menschen; sie wurde live im Westdeutschen Rundfunk (WDR) übertragen.
In Zusammenarbeit mit dem Regisseur Amos Gitai entstanden die Filmmusiken zu Berlin-Jerusalem und Golem, the Petrified Garden. Gemeinsam mit seinem Bruder Simon komponierte er im Auftrag der Kölner Philharmonie zu deren fünfjährigem Bestehen 1991 die Köln Musik Fantasy, die mit einer Licht-Laser-Show und Feuerwerk aufgeführt wurde. Zum zehnten Jubiläum der Kölner Philharmonie wurde 1996 das Stück Jubilee vor wieder mehr als 100.000 Zuschauern aufgeführt. Weiterhin komponierte er gemeinsam mit seinem Bruder Theatermusiken zu Metamorfosi di una Melodia, Ansichten eines Clowns (1996) und einer musikalischen Rezitation der sieben Psalmen. Gemeinsam mit Hanna Schygulla, Simon Stockhausen und Manos Tsangaris entwickelte er das Projekt Kronos Kairos für das Staatstheater Mainz.
In Zusammenarbeit mit dem Bildhauer Norbert Müller-Everling entstanden Lila (1986–1989), ein Stück für Tanz, Musik und geometrische Lichteffekte sowie Lebendige Schöpfung und in Zusammenarbeit mit dem Bildhauer Helmut Lutz in Neuf-Brisach Radbühne, Im Augenblick und Klangstern. 1995 wurde auf einem Klangschiff auf der Donau das Stück Donautropfen aufgeführt, 1996 und 1997 das Werk Im Augenblick. Weiterhin schrieb er Auftragskompositionen für die London Sinfonietta, das Orchestra d'Archi Italiana, das Kammerorchester Winterthur, die Camerata Bern und das Swiss Jazz Orchestra und die Hamburger Symphoniker. Seine Kompositionen für Jazztrio und Orchester (Sonnenaufgang, Choral und Sehnsucht) wurden in verschiedenen Ländern Europas aufgeführt. Seit 2005 konzertierte er auch zusammen mit den 12 Cellisten der Berliner Philharmoniker, für die er das Werk Miniatur einer Seelenreise schrieb.
Kennzeichen seines Trompetenspiels ist ein heller, klarer – der klassischen Musik entlehnter – Ton. Er improvisiert auch auf der Piccolotrompete und spielt manchmal auf einem selbst konstruierten Viertelton-Flügelhorn.
2010 gründete Markus Stockhausen die Internationale Akademie für Intuitive Musik. Seminare werden in Deutschland, Italien und Griechenland angeboten. Neben Meisterkursen veranstaltet er auch viele spirituelle Seminare Singen und Stille - Wenn die Seele singt - Singen (Tönen) als Weg zum Selbst. Transformation durch Klang ist sein wiederkehrendes Thema.
Über 80 CD-Veröffentlichungen dokumentieren das Schaffen von Markus Stockhausen. 2016 erschien die CD Alba von Florian Weber und Markus Stockhausen bei ECM, 2017 veröffentlichte er mit Quadrivium die CD Far into the Stars bei OKeh/Sony (Wikipedia).