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Als Sohn eines semiprofessionellen Musikers wurde Moore in Kalifornien großgezogen. Nach dem Studienbeginn auf der Humboldt State University besuchte er das New England Conservatory of Music, wo er bei Jaki Byard und Gunther Schuller seinen Abschluss machte (1977). Dort lernte er auch Marty Ehrlich kennen. Anschließend spielte er viel mit Theater- und Tanzgruppen. 1982 zog er nach Amsterdam, wo er Mitglied von Misha Mengelbergs ICP Orchestra wurde und bis heute ist. Daneben war er Mitglied von Georg Gräwes Grubenklang Orchester.
1992 hat Moore sein erstes Album vorgelegt; insbesondere mit dem Album Chicoutimi (1994) wurde er als Komponist anerkannt. Das schlagzeuglose Trio dieser CD (Fred Hersch, Piano, und Mark Helias, Bass) war durch die Duos von Lee Konitz und Gil Evans inspiriert, erinnert aber auch an die Trios von Jimmy Giuffre in den frühen 1960ern. Mit Jewels and Binoculars (einem Trio mit Bassist Lindsey Horner und Drummer Michael Vatcher) widmet er sich frühen Songs von Bob Dylan. Jenseits des ICP Orchestra ist Moore vermutlich am besten bekannt als Teil des Trios Clusone 3, das er mit dem Cellisten Ernst Reijseger und Drummer Han Bennink bildete. Das Trio wurde zunächst nur für einen einzigen Auftritt auf dem Festival in Clusone gegründet, blieb aber dann langjährig für zahlreiche Auftritte und sechs CDs, darunter eine mit frei interpretierten Irving-Berlin-Kompositionen zusammen. Ferner spielte er mit Available Jelly und mit Gerry Hemingway (Demon Chaser 1993), Myra Melford, Simon Nabatov, Franky Douglas, Yo-Yo Ma, Maarten Altena, Achim Kaufmann, Sean Bergin und Marilyn Crispell.
1991 gründete er das Label Ramboy Records, um seine Musik besser dokumentieren zu können; dort liegen bisher 22 Veröffentlichungen vor (Stand: August 2006) (Wikipedia).