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Konrad Bauer wuchs in Sonneberg in Thüringen auf und interessierte sich als Jugendlicher für moderne Tanzmusik: Swing, Blues, Boogie-Woogie und den aufkommenden Rock ’n’ Roll. Er begann während der Oberschulzeit zuerst autodidaktisch Gitarre und Klavier zu spielen, wollte als Gitarrist mit Freunden, die ihn damals schon „Conny“ nannten, eine Rock-Band im Northern Band Style gründen, entschloss sich dann aber zum Musikstudium. Bei der Aufnahmeprüfung an der Musikhochschule stellte sich heraus, dass es im Fach Tanzmusik zu viele Bewerber gab, die Gitarre spielen wollten. Da Bauer auch Posaune spielen konnte, wechselte er das Instrument, um einen Studienplatz zu erhalten. Nach dem Studium der Posaune von 1964 bis 1968 an der Hochschule für Musik „Carl Maria von Weber“ in Dresden, Fach Tanzmusik, ging er nach Ost-Berlin, wo er weiteren Privatunterricht nahm.
Von 1968 bis 1970 war er Gitarrist und Sänger im Manfred Ludwig Sextett. Von 1970 bis 1973 spielte er zum ersten Mal Posaune als Hauptinstrument in der teilweise mit der Klaus-Lenz-Band fusionierten Modern Soul Band. Daneben spielte er im Ernst-Ludwig Petrowsky-Quintett, im Hans-Rempel-Oktett und mit seinem eigenen Quintett Exis (1971–73), bestehend aus Andreas Aigmüller (Schlagzeug), Christoph Niemann (Kontrabass), Eberhard Klunker (Gitarre) und Andreas Pieper (Flöte), aus dem sich später die Gruppe FEZ (1974–77, mit Hannes Zerbe) entwickelte, und in der Gruppe Synopsis (1973–75).
Seit 1974 gestaltet er Solokonzerte auf der Posaune; er nahm mehrere Solo-Alben auf (unter anderem 1988 im Völkerschlachtdenkmal). Daneben existierte eine Quartettbesetzung (1978–80) (mit Uwe Kropinski (Gitarre), Matthias Bauer (Bassgitarre) und Peter Gröning (Schlagzeug)) und ein Trio mit Ulrich Gumpert (Klavier) und Günter „Baby“ Sommer (Schlagzeug).
Seit 1981 spielt Bauer mit seinem Bruder, dem Posaunisten Hannes Bauer, und den beiden Gitarristen Helmut „Joe“ Sachse und Uwe Kropinski in der Gruppe Doppelmoppel. 1984 wurde das Zentralquartett, bestehend aus der Synopsis-Besetzung Ernst-Ludwig Petrowsky (Altsaxophon, Klarinette), Conny Bauer (Posaune), Ulrich Gumpert (Klavier) und Günter Sommer (Schlagzeug) gegründet.
1987/88 leitete er das Jazzorchester der DDR. Dies wurde auf einer LP dokumentiert. Nach einem Intermezzo bei tiny islands und Double Dosis gründete er 1992 wieder ein Konrad Bauer Trio, diesmal zunächst mit Peter Kowald, aktuell Barre Phillips am Bass und Sommer am Schlagzeug. Aktuell spielt er mit seinem Bruder Hannes und zwei weiteren Posaunisten, Iven Hausmann und Jörg Huke, auch in dem Posaunenquartett Fo(u)r Bones. Seit 2006 spielt er daneben auch mit seinen beiden Brüdern Johannes und Matthias Bauer (Bass) sowie seinem Sohn Louis Rastig (Klavier) in der Band Bauer 4 zusammen. Tourneen führten Bauer mit anderen renommierten Musikern zusammen, beispielsweise Joachim Kühn, Peter Brötzmann, Han Bennink, Derek Bailey, George Lewis und Nils Wogram.
Seit den 1980er Jahren verfasst Bauer auch Filmmusiken (unter anderem für Polizeiruf 110).
1986 erhielt Bauer den Kunstpreis der DDR.[1] 1994 wurde er mit dem Verdienstorden des Landes Berlin ausgezeichnet. 2004 erhielt er den SWR-Jazzpreis. Die Jury hob in der Begründung seine Solo-CD Hummelsummen besonders hervor und deren „verblüffende Blastechniken, wie mehrstimmige Multiphonics, die Bauer für seine Klangexperimente nutzt, ohne dadurch auf unverkennbar narrative Linien zu verzichten“. 2008 wurde seine Solo-CD Der gelbe Klang in die Bestenliste des vierten Kalendervierteljahres für den Preis der deutschen Schallplattenkritik aufgenommen (Bereichsjury Grenzgänge) (Wikipedia).